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"La fragilité de la beauté en mathématiques et en art"

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Sarah Jones Nelson et Enrico Bombieri

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Une collaboration sous les auspices de la School of Mathematics, Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey

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Publié dans L' art dans la vie des mathématiciens

Anna Kepes Szemerédi, éditrice, American Mathematical Society : Providence, Rhode Island, 2015

La beauté existe-t-elle en mathématiques ? La question concerne les objets mathématiques et leurs relations , véritable objet de preuves vérifiables. Les mathématiciens conviennent généralement que la beauté existe dans la beauté structurelle des théorèmes et des preuves, largement visible uniquement par les mathématiciens eux-mêmes, et dans la beauté mathématique que tout le monde peut voir dans l'art et la nature. Des motifs irréfutablement beaux émergent universellement de la relation des éléments et des objets dans les carreaux de mosaïque, par exemple, dans la peinture de paysage, les rivières qui coulent et dans les symétries en spirale des pommes de pin et des coquillages. Les modèles mathématiques dans les formations physiques vous donnent un sens de la beauté inchangé par la variation de ses éléments : universalité, symétrie, simplicité, élégance et puissance.

La critique de la beauté dans l'art est fragile car elle dépend de normes de jugement relatives qui varient dans le temps selon les cultures. Pour Leibniz, cela expliquait la différence entre les vérités de fait et les vérités de raisonnement qui reflètent l'intention critique. Jusqu'à la fin des Lumières, une distinction formelle de Kant était inintelligible entre la perception de la beauté naturelle en tant que bel objet et de la beauté artistique en tant que belle représentation d'un objet. Dans la tradition de son époque, Kant a utilisé la théorie grecque classique des proportions dans la nature et dans l'art pour vérifier ses croyances en la vérité factuelle de la beauté. Cependant, l'analyse de Hume des faits, des valeurs et des goûts, combinée à la théorie de l'éthique et des émotions de Spinoza telles que l'envie et l'amour, avait déjà fait de la vie intérieure des émotions fortes une norme permanente de jugement critique. Cela a inversé l'idée de la Renaissance selon laquelle l'art est le miroir de la nature unifiant la vérité optique et la beauté factuelle, montrée pour la première fois dans les nouvelles mathématiques de la perspective d'Alberti. L'unification grecque classique de la vérité, de la beauté et de la bonté morale - un trope platonique pour des réalistes partageant les mêmes idées tels que Brunelleschi, Giotto, Leonardo et Michelangelo - contredit sauvagement tout jugement amoral ou critique de la beauté dans l'art abstrait et moderne.

Léon Battista Alberti était philosophe et abréviateur ou secrétaire de la Curie papale. Il a d'abord formalisé la perspective à un point dans De pictura (1435) et dans le vernaculaire Della pittura (1436). Alberti a collaboré à Florence avec l'architecte Filippo Brunelleschi. À Rome, il travaille avec Luca Pacioli, mathématicien et collaborateur de Léonard de Vinci à Milan sur De divina proportione (1509). Brunelleschi avait obtenu son brevet de mathématiques et avait étudié auprès de Paolo dal Pozzo Toscanelli, mathématicien florentin, astronome, cosmographe et conseiller de Colomb. Pacioli était probablement un élève de Piero della Francesca, peintre, mathématicien et théoricien de De prospectiva pingendi (1474). Ce traité formalisait sa Vierge de Brera à la symétrie exquise (1472-1474) de la même manière que sa pala d'autel de Saint Antoine (vers 1470). La perspective picturale, la représentation bidimensionnelle de l'espace tridimensionnel, est ainsi devenue une philosophie et une règle de l'art à privilégier, selon Léonard, à tous les systèmes d'apprentissage en raison de son fondement dans les certitudes de la physique et des mathématiques – et des commanditaires. avec goût pour le trompe-l'oeil .

La continuité remarquable du réalisme platonicien dans l'art et les mathématiques s'étend à une croyance largement répandue selon laquelle les nombres, la géométrie et toutes les mathématiques sont révélés à partir d'un royaume absolu d'objets ou de formes pures paradoxalement indépendant des sens et de la réalité physique. Dans la vision platonicienne, un mathématicien découvre des objets préexistants tels que le nombre d'or ; tandis que le formaliste invente et construit des preuves comme un architecte ou un constructeur d'objets mathématiques fabriqués à partir des matériaux d'une culture donnée. La plupart des mathématiciens sont des platoniciens le dimanche travaillant de manière formaliste en semaine. Beaucoup jouent sur une multitude de systèmes mathématiques objectivement distincts et valides – autrefois universels pour Platon – dans un monde de platonisme abondant.

Le nombre d'or φ est un objet simple exprimant une structure cachée fondamentale de l'art de la Renaissance. En géométrie euclidienne, est le rapport du côté du pentagone régulier en étoile au côté du pentagone régulier. En mathématiques contemporaines, est égal à 1 plus la racine carrée de 5 divisée par 2 :

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Les propriétés du nombre d'or sont profondément liées au nombre 5, un sujet de fascination depuis que Platon a affirmé que les nombres émanent d'objets préexistants révélés et découverts dans le domaine des formes pures. L'historienne Annemarie Schimmel, dans Das Mysterium der Zahl , l'édition anglaise Le mystère des nombres (1983), a documenté l'association dans l'antiquité du nombre 5 avec le pentagramme mystique de la connaissance kabbalistique. Les variantes apocryphes de Genèse 1:27 décrivaient le début édénique de l'univers dans lequel le nombre 5 provenait de l'union des nombres 2 et 3, symbolisant les premières formes de la femme et de l'homme, avec 1 symbolisant Dieu et l'unification de la réalité physique.

Des structures par cinq émergent partout dans la nature et dans l'art. Par exemple, la proportion du nombre d'or est clairement visible dans les symétries d'ordre quintuple de certaines plantes et fleurs. L'Homme de Vitruve de Léonard de Vinci (1490) suggère que le corps humain lui-même est un pentagone étoilé exprimant le nombre d'or comme une métaphore de la nature et un modèle de symétrie et de proportion dans le design. Les œuvres de Piero expriment des structures quintuples dans la géométrie linéaire de la commensurazione , sa norme pour juger le contour et la proportion. La pala d'autel de Saint Anthony présente une subdivision centrale en cinq espaces verticaux avec une subdivision verticale en cinq sections. La Vierge de Brera présente trois saints et deux anges à gauche avec et deux anges et trois saints à droite, complétant la symétrie. Un mécène partiellement blindé à droite, Federigo da Montefeltro, duc d'Urbino, prête un fort élément de tension qui brise la symétrie. De cette façon, Piero rétablit un équilibre harmonieux où le duc s'agenouille, les mains en prière, dirigeant votre regard en diagonale vers la Vierge et son fils enfant. Un autre tableau bien connu de Piero, la Nativité (vers 1470), représente l'Enfant fragile entouré à gauche de cinq anges chantant et jouant du luth, avec deux bergers, Saint Joseph, et l'âne et le bœuf à droite, en arrière-plan ce chef-d'œuvre d'asymétrie ; la Vierge en adoration et la mystérieuse colombe du Saint-Esprit au sommet complètent cette tendre image d'humilité. Mathématiquement plus élégante encore est sa Madonna del Parto (vers 1460), mettant en scène le paradoxe d'une Vierge enceinte entourée d'une tente en forme de pentagone. Piero voulait que ses œuvres représentent les éléments du récit biblique dans un langage symbolique qui unifie le formalisme avec l'analyse mathématique. Maître pragmatique de la technique, il ne s'est jamais arrêté à la simple prescience et n'a rien laissé au hasard.

Le nombre d'or n'est pas seulement un simple objet ancien ; φ joue également un rôle profond dans la formation des mathématiques modernes. En tant que nombre irrationnel entre 1 et 2 qui est le plus éloigné des nombres rationnels, le nombre d'or a la propriété d'être le nombre unique entre 1 et 2 qui nécessite la plus grande valeur du dénominateur q pour atteindre une approximation donnée par le nombre rationnel p divisé par q. Nous citons deux formules étonnamment élégantes pour le nombre d'or. Dans le premier, φ est égal à la racine carrée de 1 plus la racine carrée de 1 plus la racine carrée de 1 dans une construction emboîtée à l'infini ; dans le second, est égal à 1 divisé par 1 plus 1 divisé par 1 plus 1 divisé par 1 dans une construction emboîtée à l'infini. La deuxième formule est la plus intéressante des deux comme point initial pour la preuve de l'extrême irrationalité du nombre d'or.

La séquence de Fibonacci, du nom de Léonard de Pise (dit Fibonacci), exprime le nombre d'or avec une belle précision. Fibonacci l'a publié pour la première fois dans Liber Abaci (1201). Il avait travaillé pour son père dans une douane près d'Alger et avait étudié auprès de mathématiciens musulmans le long des routes commerciales méditerranéennes pour devenir le mathématicien le plus renommé de l'Europe médiévale. La séquence de Fibonacci est 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, . . . à l'infini, où chaque nombre après les deux premiers est la somme des deux nombres précédents. Il donne les meilleures approximations rationnelles du nombre d'or ; les fractions  Fn+1/Fn  rapprochez-vous de plus en plus de φ. La suite de Fibonacci s'exprime également en termes de nombre d'or :

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La géométrie euclidienne et le nombre d'or forment le premier fondement de la beauté dans l'histoire des mathématiques. Imaginez qu'en 1899, plus de deux millénaires après qu'Euclide ait écrit Éléments , le mathématicien Frank Morley ait découvert le dernier théorème véritablement nouveau en géométrie euclidienne. Le théorème de Morley stipule que les trois points où les trisecteurs des angles d'un triangle arbitraire se rencontrent sont les sommets d'un triangle équilatéral. Beau! Vous pouvez vous demander pourquoi un résultat tel que le théorème de Morley ne s'est jamais produit dans la géométrie euclidienne classique : probablement parce que les Grecs de l'antiquité classique étaient incapables d'obtenir la trisection d'un angle en utilisant des constructions euclidiennes. Aujourd'hui, les mathématiciens savent que la trisection d'un angle ne peut se faire dans le cadre de la géométrie euclidienne plane. Ils considèrent ce résultat « négatif » comme une belle conséquence de la théorie de Galois (1832) sur la résolubilité des équations algébriques, obtenue au moyen de résultats approfondis sur les groupes de permutation. Ainsi, ce qui a pu être autrefois une tache sur la géométrie euclidienne - l'impossibilité de prouver le théorème de Morley dans son contexte - est maintenant une belle découverte augmentant notre connaissance de la géométrie, de la logique et des formations correspondantes de la symétrie.

Vous pourriez déduire de notre histoire du nombre d'or qu'il s'agit d'un pilier fondamental de toutes les mathématiques. Mais l'équation de Laplace  Uxx + Uyy + Uzz = 0  est bien plus significatif. Elle apparaît encore et encore en analyse, en probabilités, en physique mathématique, en astrophysique, en chimie, voire en ingénierie financière – voire dans tous les cas impliquant l'état d'équilibre d'un système. Il exprime magnifiquement la puissante pertinence des mathématiques pour des questions ouvertes profondes, par exemple, en philosophie concernant la causalité. La Mécanique céleste de Laplace (1829) développe la mécanique newtonienne et le calcul différentiel au point que le déterminisme apparaît comme un état incontournable de la réalité physique : connaître les forces et connaître la position et la vitesse de chaque particule dans l'univers à un instant donné, l'état de l'univers à tout moment ultérieur est déterminé de manière unique ; ainsi avec Laplace, le hasard, l'action libre ou l'agence sont des fictions causales sur les vraies lois de la nature. Mais son équation n'est qu'un simple modèle mathématique. Est-ce correct ou​ élégant d'en tirer de si vastes conséquences philosophiques, ou de suggérer que les lois de la nature n'ont jamais été révisées par de nouvelles découvertes ?

Maintenant, avec l'avènement de la théorie quantique, nous savons que le système de Laplace ne peut pas décrire tous les mécanismes de l'univers observable. En mécanique quantique, l'état de l'univers est donné par une fonction d'onde ψ satisfaisant l'équation de Schrödinger, un proche parent de l'équation de Laplace. Pour Schrödinger également, l'évolution de est déterministe : connaissant la fonction d'onde à un moment donné, elle est déterminée de manière unique à des moments ultérieurs. Cependant, la fonction d'onde ne décrit que la probabilité des résultats d'une observation. Près d'un siècle après la formulation de la théorie quantique, il n'y a toujours pas de consensus sur son domaine de validité, peut-être parce qu'elle contredit la mécanique classique et l'idée forte - à la base de la science et de la société - que les processus naturels et les actions humaines sont déterminés par le passé et les mécanismes simples de cause à effet. Mais comment des actions produisant quelque chose d'aussi étonnamment complexe et indéterminé qu'une belle nouvelle preuve, ou le réalisme exubérant de la Renaissance, peuvent-elles émerger dans un univers prédéterminé par des lois fixes ?

L'idée que les mathématiques sont intrinsèques aux lois de la nature, aux émotions humaines et aux arts apparaît à merveille dans la gravure la plus célèbre d'Albrecht Dürer, Melencolia I (1514). Son image centrale d'une femme ailée regardant sombrement vers l'intérieur - comme un oracle contemplant les formes sombres du cosmos - symbolise la melencholia imaginativa , un trope moderne de la médecine grecque classique et de l'analyse des quatre humeurs ou tempéraments. Elle personnifie le génie de l'art et la réalité mathématique profonde : une sphère met au premier plan l'univers fini parfait ; un polyèdre, le rhomboèdre tronqué, représente la géométrie descriptive des solides d'Archimède ; les astrolabes et les quadrants suggèrent la mesure de l'espace et du temps. Un subtil carré magique 4 x 4 d'entiers au bout de son aile fait référence au nombre de Fibonacci et est un signe de l'ordre mathématique caché de la nature transformant le mal en bien et vainquant l'anxiété, a déclaré le philosophe de la Renaissance Marsilio Ficin. La date 1514, au centre du dernier rang de la magie  carré,  célèbre  les  achèvement  de  cette  chef-d'oeuvre.  Durer,  une  L'artiste allemand et mathématicien des traités de perspective et de proportion, a partagé avec ses contemporains italiens théoriciens une philosophie de l'art et une théologie de la vie intérieure qui ont révolutionné l'Europe de la Réforme.

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L'image de la vie intérieure de Dürer prédit les joies paradoxales des vérités mathématiques qui informent même la musique. Considérez votre expérience de la façon dont un concerto de Bach ou une sonate de Mozart approfondit votre perception de la réalité. La structure de la musique est mathématique, comme Pythagore l'a montré pour la première fois. Il en est ainsi des objets durables des mathématiques allant de la musique à l'art et au-delà à la sélection culturelle et naturelle et ensuite à la cosmologie décrivant la formation symétrique de la matière au début de l'univers.

Les formations symétriques de la matière expriment la beauté en mathématiques. Le concept de groupe exprime la symétrie en mathématiques. Qu'est-ce qu'un groupe ? Considérez n'importe quel objet, concret ou abstrait. Une symétrie de l'objet – mathématiquement, un automorphisme – est un mappage de l'objet sur lui-même qui préserve toutes ses propriétés. Le produit de deux symétries, l'une suivie par l'autre, est aussi une symétrie, et toute symétrie a un inverse qui la défait. Les symétries d'un carré peuvent être obtenues en le faisant pivoter de 90 degrés ou en le réfléchissant dans l'axe vertical. Les mathématiciens considèrent les groupes de Lie (prononcé lee ) comme une belle base continue pour une grande partie des mathématiques, ainsi que pour la physique. Outre les groupes de Lie continus, il existe des groupes finis et discrets non continus ; certains peuvent être obtenus à partir de groupes de Lie par réduction à un cadre fini ou discret.

Quiconque brave le labyrinthe de la décoration d'intérieur connaît les symétries effrayantes des papiers peints dans les types de treillis de pavages mathématiques pour le parallélogramme, l'hexagone, le triangle, le rectangle, le carré et le losange, à diverses rotations et axes de réflexion. Contrairement aux pavages en treillis, qui sont périodiques, il existe également des pavages quasicristallins auto-similaires apériodiques appelés pavages de Penrose, du nom de leur découvreur, le mathématicien et physicien Roger Penrose. Alors que le nombre de types de réseau distincts est fini – il en existe exactement 17 – il existe un continuum de pavages de Penrose distincts. Mais par auto-similarité, chaque morceau d'un pavage Penrose donné apparaît un nombre infini de fois dans tous les autres pavages Penrose !  Les pavages de Penrose ont été une grande surprise pour les mathématiciens, car leurs propriétés spectrales sont ponctuelles, ressemblant aux schémas de diffraction des rayons X ponctuels des cristaux naturels.

Encore plus surprenante a été la découverte par Daniel Schechtman, lauréat du prix Nobel, que les quasi-cristaux existent dans la nature sous forme de symétries quintuple d'alliages apériodiques de certains métaux. Le physicien Paul Steinhardt, l'un des découvreurs des quasi-cristaux, a magnifiquement montré leur lien avec la similitude étonnante entre les pavages de Penrose et les mosaïques islamiques du début du Moyen Âge, ou pavages de Girih. Imaginez que six siècles avant Penrose, les artistes et architectes islamiques aient introduit des motifs pentagone et décagone, des pavages de symétries pentagonales partielles qui expriment la beauté fragile de l'art intemporel. Ces subtilités abstraites en mathématiques sont des outils pour décrire la nature et les œuvres d'art telles que les pavages Girih et Penrose, simplement réalisés avec deux carreaux rhombiques de base, un étroit et un large, dans des formes précises liées au nombre d'or, au pentagone et aux pentagones en étoile. . Les outils mathématiques de description nous aident à voir les structures universelles autrement cachées dans la nature, le nombre d'or, le pentagone en étoile, chacun donnant lieu à des normes formelles de précision dans l'abstraction sociale des mathématiques pures à l'art abstrait.

Les groupes finis de symétries, comme les symétries d'un carré ou d'un cube, ont longtemps défié la classification jusqu'à ce que les mathématiciens réussissent à classer tous les groupes simples finis. Le théorème de classification est une preuve qui compte aujourd'hui plus de 3 000 pages et a nécessité plus de 40 ans d'efforts collectifs de plus de 100 mathématiciens. Ce théorème met de l'ordre dans la théorie des groupes finis. Les groupes simples sont importants parce qu'ils sont une sorte de pierre angulaire à partir de laquelle chaque groupe fini est construit. Par exemple, un groupe de rotations d'un polygone à 15 côtés peut être obtenu par des rotations combinées de 120 degrés et des rotations de 72 degrés, ces dernières générant des groupes simples. Les groupes alternés, à commencer par le groupe icosaédrique, et les groupes finis de type de Lie, forment un nombre fini de familles de groupes simples, mais avec une infinité de membres dans chaque famille. Comme les groupes de Lie classiques, ils sont étroitement associés aux symétries des géométries sous-jacentes. Il existe également 26 groupes exceptionnels, assez différents des groupes de type Lie, dits groupes sporadiques. Deux groupes sporadiques sont ici pertinents : le groupe de symétrie de Conway, du nom de John Conway, les symétries (jusqu'à une réflexion) d'un réseau très remarquable en 24 dimensions, le réseau de Leech ; et le groupe Fischer-Griess F1 , dont l'existence a été prouvée par RL Griess lors d'une visite à l'Institute for Advanced Study. Également surnommé le monstre par les mathématiciens, le groupe Fischer-Griess est le plus grand et gigantesque groupe sporadique contenant

808017424794512875886459904961710757005754368000000000

éléments. Il contient en lui 21 des 26 groupes sporadiques, et le groupe Conway en fait partie ! Par un développement totalement inattendu de la curieuse numérologie 196883 + 1 = 196884, où 196883 est un nombre critique nécessaire pour décrire le Monstre et 196884 est un autre nombre - de l'étude vieille de 150 ans sur les fonctions elliptiques et automorphes - le Monstre a maintenant apprivoisé par son lien évident avec de nombreux domaines distincts des mathématiques et de la physique mathématique. N'est-il pas beau que la coopération persistante des mathématiciens puisse apprivoiser le Monster F1 ?

On pourrait en dire plus sur la beauté en mathématiques, du processus fragile d'un solide examen par les pairs à tout consensus sur ce qui est vérifiable et beau. Même la chose la plus simple en mathématiques, à savoir, la séquence de nombres 1, 2, 3, . . . à partir de laquelle toutes les mathématiques ont pris vie, contient en soi un mystère profond, la séquence 2, 3, 5, 7, . . . de nombres premiers qui forment les éléments constitutifs de la multiplication. Les mathématiciens ont déjà découvert de belles relations entre les propriétés des nombres premiers, certaines fermement établies. Mais les relations les plus importantes sont encore conjecturales, soulevant des questions ouvertes en analyse, en géométrie et même en physique. Habiter plus loin ici dépasserait notre portée actuelle, nous terminons donc notre liste de beaux exemples par une célèbre construction reliant les mathématiques à la logique et à la philosophie.

Les mathématiciens sont toujours à la recherche d'une belle preuve, jamais satisfaits de savoir que quelque chose est vrai. Ils veulent savoir pourquoi c'est vrai. Prenez le continuum, une ancienne source de discorde parmi les philosophes grecs tels que Zénon, son paradoxe découlant de la divisibilité infinie. George Cantor a donné une définition mathématique précise du continuum reflétant notre vision naïve selon laquelle il est la totalité de tous les nombres, écrit en notation décimale sous la forme d'un entier suivi d'une séquence infinie de chiffres décimaux, pas tous égaux à 9 à partir d'un certain point. (La définition de Cantor est étrangement proche de la conception d'Eudoxe d'un nombre.)

Cantor a produit un célèbre argument diagonal connu sous le nom de théorème de Cantor de l'indénombrable du continu. Cette preuve simple et puissante montre que le continuum, à savoir tous les nombres réels entre 0 et 1, ne peut pas être répertorié dans une liste comme premier, deuxième, troisième, etc. Le continuum est donc indénombrable. Supposons par contre-exemple qu'il soit dénombrable dans une liste infinie :

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0.643546675432534645600112 . . .

0,100053453647545546043860 . . .

0,000000000000100004534237 . . .

0.999999999961045674732017 . . .

0.222955600333054564501179 . . .

0,141592653589793238462643 . . .

0.777777777777777777777777777 . . .

0.421047542507075505555001 . . .

0.777777771777777777777777777 . . .

0.777777777177777777777777777 . . .

0,01001000100010000010000 . . .

0,099999999999999900000000 . . .

Le marqueur diagonal est 0,600952741109 . . . , le nième chiffre du nième nombre. Si vous modifiez chaque chiffre du nombre diagonal, le résultat ne peut être dans aucune ligne ; il n'est donc pas dans la liste. Une belle preuve ! Pourquoi? Parce qu'il prouve universellement qu'il existe différentes sortes d'infini, l'infini des nombres entiers positifs 1, 2, 3, . . . et l'infini du continu 0_______1. Intuitivement, cela démontre qu'il existe un infini discret différent de l'infini du continu tel qu'une ligne droite. L'argument diagonal de Cantor ne se limite pas à ce théorème ; il est devenu un outil puissant aussi bien en logique mathématique, sur la nature de l'infini, qu'en informatique, sur la nature de la complexité. Pensez aux conséquences mathématiques stupéfiantes du théorème de Cantor pour la géométrie euclidienne. Les conséquences philosophiques ont irrévocablement ébranlé les fondements de l'analyse et de tout jugement synthétique a priori réfutant le déni de Hume selon lequel une véritable connaissance de toute métaphysique est possible.

Cantor a montré que l'infinité dénombrable des nombres entiers positifs est plus petite que l'infinité du continu. La fameuse hypothèse du continu est l'affirmation qu'il n'y a pas d'infini plus grand que l'infini dénombrable et plus petit que l'infini du continu.  La situation technique est la suivante :  Gödel a prouvé que l'hypothèse du continu ne peut pas être réfutée à partir des axiomes de la théorie des ensembles. Paul Cohen a prouvé que cela ne peut pas être prouvé. Ainsi, l'hypothèse du continu est indépendante des axiomes de la théorie des ensembles ; elle ne peut être ni prouvée ni réfutée. La conséquence philosophique est que la valeur de vérité de l'hypothèse du continu est incertaine, ou au mieux, indéfinie. Kant croyait que les axiomes de la géométrie euclidienne étaient vrais. Mais maintenant, nous savons qu'il existe également des géométries non uclideennes. De plus, John Conway a suggéré qu'il existe des affirmations mathématiques simples et instables qui ne découlent pas des axiomes de la théorie des ensembles. Qu'est-ce donc que la vérité en mathématiques ? Existe-t-il une différence fondamentale entre savoir si les axiomes de la géométrie euclidienne sont vrais et savoir si l'hypothèse du continu est vraie ? Dans chaque cas, on voit que la vérité est intrinsèquement fragile et ne s'identifie pas à l'absence de contradiction.

Le raisonnement et la construction axiomatiques possèdent chacun une fragilité différente. Les constructivistes et les intuitionnistes imposent de fortes limites à ce qui peut être fait, alors que le raisonnement axiomatique ne peut que démontrer l'existence d'un objet sans méthode pour le construire. C'est-à-dire que le raisonnement axiomatique peut montrer que l'hypothèse que l'objet n'existe pas conduit à une contradiction. L'argument diagonal de Cantor prouve que le continu n'est pas listable ; il ne dit rien, cependant, sur la structure du continu. De plus, le constructivisme soutient que le raisonnement constructif est correct. Mais la pratique de la grande majorité des mathématiciens est d'utiliser des raisonnements axiomatiques non constructifs puis d'explorer les possibilités de construction qui peuvent n'être qu'une question de goût.

Hume était le prophète sceptique du goût annonçant le rôle du sujet – le soi – dans la perception de la beauté comme le plus grand bien du plaisir esthétique. Bien avant que Freud ne fasse du principe du plaisir la norme fixe de l'intention humaine, Hume avait fait du plaisir esthétique la norme de la beauté vérifiée sur l'évidence des sens. Mais l'esthétique des objets de Kant avant la perception de la beauté – et de la vérité – a révisé cette relation entre réalité physique et non physique.  Kant le platonicien a fait de la beauté en elle-même l'émanation révélée de la vérité mathématique et des formes ou objets métaphysiques purs. Comment vérifier la vérité comme beauté si elle est une révélation du royaume des formes pures de Platon ? Sur quelle évidence des sens vérifies-tu une révélation ? Et les sens sont-ils vérifiables de manière fiable ? La perception de la beauté est-elle une simple projection du désir de plaisir d'éviter ou de supprimer la douleur ? Un véritable objet mathématique est-il physique ou non ? Qu'est - ce qu'un objet réel ? La vérification mathématique de la vérité participe-t-elle de la réalité physique parce qu'elle est découverte, ou parce qu'elle est inventée à partir de la culture des œuvres humaines et des fragiles processus de sélection culturelle ? Une preuve sauve-t-elle vraiment l'apparence de formes pures découvertes dans un royaume mystique de beaux objets ?

Des questions analogues dans l'art, la poésie, la musique et l'histoire éclairent la question de la beauté en raison de son rôle profondément personnel dans la formation des œuvres humaines et des valeurs humaines. Les mathématiciens travaillent comme des poètes ou des peintres : la différence est qu'une salle de mathématiciens étudiant un problème obtient la même réponse au sein d'une communauté qui valorise et requiert un consensus. La construction d'objets mathématiques par des individus est fragile ; ces objets en eux-mêmes, cependant, sont robustes en raison de normes sociales durables d'examen par les pairs et de consensus. Comme les poètes, les peintres et les compositeurs de musique, les mathématiciens ont leur propre style et leur propre technique. Mais la vérité mathématique n'est pas qu'une collection de théorèmes, pas plus que la peinture n'est une simple collection de pigments. Pour les mathématiciens, comme l'a prouvé Tarski, les théorèmes sont des vérités établies, obtenues par une construction fragile de preuves conduisant à un consensus de vérification. Le processus allant de la construction fragile à la vérification robuste ne décrit pas seulement les normes sociales de la communauté mathématique ; il indique également le discernement progressif des relations entre les objets mathématiques d'une preuve.

Les mathématiciens, parfois involontairement, ont tendance à accepter le concept d'aspect de Wittgenstein - la perception temporelle des relations internes d'un objet - comme une partie essentielle des mathématiques. En effet, tout aspect, élément ou propriété donné des relations entre les objets ou les preuves se déroule de manière indéterminée à la lumière changeante de la perception, tout comme l'aspect relationnel des objets a tendance à changer lorsque vous regardez une peinture. Un poème, une symphonie, une peinture ou un récit écrit fixé dans le temps ne change jamais, mais la façon dont vous lisez un texte ou écoutez de la musique ou regardez l'art change avec des changements temporels dans l'émotion, le goût ou les angles de lumière et d'espace qui rendent le consensus immatériel. L'histoire porteuse de vérité est faite indépendamment de la beauté ou de la bonté des événements de la représentation savante, même si les historiens valorisent un consensus solide sur des vérités historiques fragiles en tant qu'objets et relations de l'analyse factuelle. La poésie est rarement écrite maintenant pour être belle ou même nécessairement vraie, mais plutôt pour satisfaire une puissante conscience pré-verbale de la façon dont les choses sont changées par le poème en dehors de toute analyse formelle d'aspect. Citant Keats,

« La beauté est vérité, vérité beauté, c'est tout

          Vous savez sur terre, et tout ce que vous devez savoir."

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